Geometria Analítica · Básico

Como determinar a equação de um plano no espaço tridimensional?

Enunciado

> Conceito-chave: A equação de um plano no espaço tridimensional pode ser expressa na forma $a x + b y + cz + d = 0$ , onde $(a, b, c)$ é o vetor normal do plano.

Considere os pontos $A (1, 2, 3)$ , $B (2, 3, 4)$ e $C (3, 1, 5)$ . Determine a equação do plano que passa por esses três pontos.

Solução detalhada

Para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos $A (1, 2, 3)$ , $B (2, 3, 4)$ e $C (3, 1, 5)$ , seguimos os seguintes passos:

Encontrar os vetores que estão no plano:
- O vetor $e x t b f A B$ é dado por:

e x t b f A B = B - A = (2 - 1, 3 - 2, 4 - 3) = (1, 1, 1) .

O vetor $e x t b f A C$ é dado por:

e x t b f A C = C - A = (3 - 1, 1 - 2, 5 - 3) = (2, - 1, 2) .

Calcular o vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
- O vetor normal $e x t b f n$ é dado pelo produto vetorial $e x t b f A B im ese x t b f A C$ :

extbf{n} = egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} \ 1 & 1 & 1 \ 2 & -1 & 2 \\ extbf{n} = extbf{i}(1 imes 2 - 1 imes (-1)) - extbf{j}(1 imes 2 - 1 imes 2) + extbf{k}(1 imes (-1) - 1 imes 2) = extbf{i}(2 + 1) - extbf{j}(2 - 2) + extbf{k}(-1 - 2) = 3 extbf{i} + 0 extbf{j} - 3 extbf{k} = (3, 0, -3).

Encontrar a equação do plano:
- A equação do plano pode ser escrita como:

3 (x - 1) + 0 (y - 2) - 3 (z - 3) = 0.

Simplificando, obtemos:

3 x - 3 - 3 z + 9 = 0 i g h t a r r o w 3 x - 3 z + 6 = 0 i g h t a r r o w x - z + 2 = 0.

Portanto, a equação do plano que passa pelos pontos $A$ , $B$ e $C$ é:

x - z + 2 = 0.

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