Geometria Analítica · Avançado

Calcule a menor distância entre um ponto e uma reta reversa no espaço

Enunciado

Considere o ponto $P (2, 3, 4)$ e as retas $r_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = - 1 + t z = 3 - t$ e $r_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 - s y = 2 + s z = 1 + 2 s$ . Determine a menor distância entre o ponto $P$ e a reta reversa formada por $r_{1}$ e $r_{2}$ .

Solução detalhada

Primeiro, encontramos os vetores diretores das retas $r_{1}$ e $r_{2}$ :

Para $r_{1}$ , o vetor diretor é $d_{1} = (2, 1, - 1)$ .
Para $r_{2}$ , o vetor diretor é $d_{2} = (- 1, 1, 2)$ .

Agora, determinamos um vetor que liga o ponto $P (2, 3, 4)$ a um ponto qualquer na reta $r_{1}$ . Vamos considerar um ponto $Q$ na reta $r_{1}$ quando $t = 0$ :

Q (1, - 1, 3) .

Assim, o vetor $P Q$ que liga $P$ a $Q$ é:

P Q = Q - P = (1 - 2, - 1 - 3, 3 - 4) = (- 1, - 4, - 1) .

Agora, precisamos encontrar a projeção de $P Q$ sobre o vetor diretor de $r_{1}$ . A projeção de um vetor $a$ sobre um vetor $b$ é dada por:

proj_{b} (a) = \frac{a \cdot b}{b \cdot b} b .

Calculando o produto escalar:

P Q \cdot d_{1} = (- 1) (2) + (- 4) (1) + (- 1) (- 1) = - 2 - 4 + 1 = - 5,

d_{1} \cdot d_{1} = (2) (2) + (1) (1) + (- 1) (- 1) = 4 + 1 + 1 = 6.

Assim, a projeção de $P Q$ sobre $d_{1}$ é:

proj_{d_{1}} (P Q) = \frac{- 5}{6} d_{1} = \frac{- 5}{6} (2, 1, - 1) = (- \frac{5}{3}, - \frac{5}{6}, \frac{5}{6}) .

Agora, para encontrar a menor distância entre o ponto $P$ e a reta reversa, precisamos calcular a distância entre o ponto $P$ e o ponto $Q$ na reta $r_{1}$ , ajustando pela projeção:

dist a ˆ ncia = ∣ P Q - proj_{d_{1}} (P Q) ∣.

Calculando:

P Q - proj_{d_{1}} (P Q) = (- 1, - 4, - 1) - (- \frac{5}{3}, - \frac{5}{6}, \frac{5}{6}) = (- 1 + \frac{5}{3}, - 4 + \frac{5}{6}, - 1 - \frac{5}{6}) .

Isso resulta em:

(- \frac{3}{3} + \frac{5}{3}, - \frac{24}{6} + \frac{5}{6}, - \frac{6}{6} - \frac{5}{6}) = (\frac{2}{3}, - \frac{19}{6}, - \frac{11}{6}) .

Agora, calculamos a norma desse vetor:

dist a ˆ ncia = (\frac{2}{3})^{2} + (- \frac{19}{6})^{2} + (- \frac{11}{6})^{2} = \frac{4}{9} + \frac{361}{36} + \frac{121}{36} = \frac{4}{9} + \frac{482}{36} = \frac{16 + 482}{36} = \frac{498}{36} = \frac{498}{6} .

Simplificando:

498 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 27 = 3 2 \cdot 27 = 354 = 3 \cdot 36 = 96 .

Portanto, a menor distância é:

dist a ˆ ncia = \frac{9 6}{6} = \frac{3 6}{2} .

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