Geometria Analítica · Intermediário

Cálculo da distância entre um ponto e uma reta reversa no espaço

Enunciado

> Enunciado:
>
> Considere o ponto $P (1, 2, 3)$ e a reta $r$ definida pelas equações paramétricas:
>

egin{aligned} > x &= 2 + t, \ > y &= 1 - t, \ > z &= 4t. > \end{aligned}

>
> Determine a distância do ponto $P$ à reta $r$ e verifique se a reta é reversa em relação ao plano que passa pelo ponto $P$ e é paralelo ao vetor diretor da reta.

Solução detalhada

Para resolver a questão, vamos seguir os passos abaixo:

Identificação do vetor diretor da reta:
A reta $r$ é dada pelas equações paramétricas:

egin{aligned} x &= 2 + t, \ y &= 1 - t, \ z &= 4t. \end{aligned}

O vetor diretor $e x t b f v$ da reta é obtido a partir dos coeficientes de $t$ :

e x t b f v = (1, - 1, 4) .

Cálculo do ponto na reta mais próximo de $P$ :
O ponto $Q$ na reta pode ser expresso como:

Q (t) = (2 + t, 1 - t, 4 t) .

O vetor $e x t b f P Q$ que liga o ponto $P$ ao ponto $Q$ é dado por:

e x t b f P Q = Q (t) - P = (2 + t - 1, 1 - t - 2, 4 t - 3) = (1 + t, - 1 - t, 4 t - 3) .

Cálculo da distância:
A distância entre o ponto $P$ e a reta é a norma da projeção do vetor $e x t b f P Q$ sobre o vetor diretor $e x t b f v$ :

d = rac{| extbf{PQ} imes extbf{v}|}{| extbf{v}|}.

Primeiramente, vamos calcular o produto vetorial:

extbf{PQ} imes extbf{v} = egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} \ 1+t & -1-t & 4t-3 \ 1 & -1 & 4 \ \ ext{Determinante} = extbf{i}((-1-t) imes 4 - (4t-3)(-1)) - extbf{j}((1+t) imes 4 - (4t-3)(1)) + extbf{k}((1+t)(-1) - (-1-t)(1)).

\
ext{Calculando cada componente:}

e x t b f i (- 4 - 4 t + 4 t - 3) - e x t b f j (4 + 4 t - 4 t + 3) + e x t b f k (- 1 - t + 1 + t) = e x t b f i (- 7) - e x t b f j (7) + e x t b f k (0) .

Assim, temos:

e x t b f P Q im ese x t b f v = (- 7, - 7, 0) .

Cálculo da norma do produto vetorial:

∣ e x t b f P Q im ese x t b f v ∣ = e x t s q r t ((- 7)^{2} + (- 7)^{2} + 0^{2}) = e x t s q r t (49 + 49) = e x t s q r t (98) = 7 e x t s q r t (2) .

Cálculo da norma do vetor diretor:

∣ e x t b f v ∣ = e x t s q r t (1^{2} + (- 1)^{2} + 4^{2}) = e x t s q r t (1 + 1 + 16) = e x t s q r t (18) = 3 e x t s q r t (2) .

Cálculo da distância:

d = rac{7 ext{sqrt}(2)}{3 ext{sqrt}(2)} = rac{7}{3}.

Verificação da reversibilidade:
Para verificar se a reta é reversa em relação ao plano que passa pelo ponto $P$ e é paralelo ao vetor diretor, precisamos verificar se o vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano pode ser obtido a partir do vetor que liga o ponto $P$ a um ponto na reta, que já calculamos como $e x t b f P Q$ . Como a reta não é ortogonal ao plano, ela é reversa.

Portanto, a distância do ponto $P$ à reta $r$ é $r a c 73$ e a reta é reversa em relação ao plano definido.

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