Distância de um ponto a uma reta reversa no espaço

Considere a reta $r$ definida pelos pontos $A(1,2,3)$ e $B(4,5,6)$ e o ponto $P(7,8,9)$. Determine a distância do ponto $P$ à reta $r$ utilizando o produto misto e a fórmula da distância entre um ponto e uma reta reversa no espaço. Justifique a existência da solução e analise o caso em que a distância é mínima.

Para resolver a questão, seguimos os seguintes passos:

• Encontrar o vetor diretor da reta $r$:
• O vetor diretor $v$ da reta $r$ é dado por:

• Encontrar o vetor que liga um ponto da reta ao ponto $P$:
• O vetor $AP$ é:

• Calcular a distância usando o produto misto:
• A distância $d$ do ponto $P$ à reta $r$ é dada por:

onde $w$ é um vetor qualquer não colinear com $v$. Para simplificar, podemos escolher $w=(1,0,0)$.

• Calcular o produto vetorial $v\times w$:

• Calcular o produto escalar $AP\cdot (v\times w)$:

• Calcular a norma do vetor diretor $|v|$:

• Substituir na fórmula da distância:
• Como o produto escalar resultou em 0, temos:

Isso significa que o ponto $P$ está sobre a reta $r$.

• Justificativa da existência da solução:
• A solução existe pois a reta é bem definida e o ponto $P$ está colinear com os pontos da reta, resultando em distância mínima zero.

Portanto, a distância do ponto $P$ à reta $r$ é 0, confirmando que $P$ pertence à reta.