Geometria Analítica · Avançado

Cálculo da Distância entre um Ponto e uma Reta Reversa

Enunciado

> Conceito-chave: A distância entre um ponto e uma reta reversa em é obtida através da projeção do vetor que liga o ponto à reta.

Considere o ponto e as retas r_1: egin{cases} x = 2 + t \ y = 1 - 2t \ z = 3 + t \\ r_2: egin{cases} x = 4 + s \ y = 5 - s \ z = 3 + 2s \\ onde e são parâmetros reais. Determine a menor distância entre o ponto e a reta reversa formada pelas retas e .

Solução detalhada

Para encontrar a menor distância entre o ponto e a reta reversa formada pelas retas e , devemos seguir os seguintes passos:

  • Encontrar os vetores diretores das retas:
  • - A reta pode ser expressa na forma paramétrica como:
egin{aligned} r_1(t) = (2 + t, 1 - 2t, 3 + t) \\ ext{com vetor diretor } extbf{v_1} = (1, -2, 1) \ ext{e ponto } P_1(2, 1, 3)\ \\ r_2(s) = (4 + s, 5 - s, 3 + 2s) \\ ext{com vetor diretor } extbf{v_2} = (1, -1, 2) \ ext{e ponto } P_2(4, 5, 3) \ \\ ext{Assim, a reta reversa é dada pelos vetores diretores } extbf{v_1} ext{ e } extbf{v_2}. \\ ext{O vetor que liga os pontos } P_1 ext{ e } A ext{ é: } extbf{PA} = (1 - 2, 2 - 1, 3 - 3) = (-1, 1, 0). \\ ext{2. **Calcular o produto misto:** } O produto misto entre os vetores extbf{PA}, extbf{v_1} ext{ e } extbf{v_2} é dado por:

ext{PM} = egin{vmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 2
\\
\\
ext{3. Calcular a norma do vetor diretor da reta reversa:}

undefined

ext{Distância} = rac{| ext{PM}|}{| ext{v_1} imes ext{v_2}|}.$$

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