Distância de um ponto a uma reta e a um plano

Considere o ponto $P(2,3,4)$ e a reta $r:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=3+t\end{array}$, onde $t\in \mathbb{R}$. Além disso, considere o plano $\pi :x+y+z-10=0$. Calcule a distância do ponto $P$ até a reta $r$ e a distância do ponto $P$ até o plano $\pi$.

Para calcular a distância do ponto $P(2,3,4)$ até a reta $r$, precisamos determinar um vetor que seja paralelo à reta e um vetor que conecte o ponto $P$ a um ponto qualquer da reta.

• Encontrar um ponto na reta $r$:
• Quando $t=0$, temos o ponto $A(1,2,3)$ na reta.

• Encontrar o vetor $\overrightarrow{PA}$:
• O vetor que vai de $P$ a $A$ é dado por:

• Encontrar o vetor diretor da reta $r$:
• O vetor diretor da reta $r$ pode ser obtido a partir das equações paramétricas:

• Calcular o produto vetorial $\overrightarrow{PA}\times \vec{v}$:

• Calcular a norma do produto vetorial:

• Calcular a norma do vetor diretor:

• Calcular a distância do ponto $P$ até a reta $r$:

Agora, vamos calcular a distância do ponto $P$ até o plano $\pi$.

• Fórmula da distância ponto-plano:
• A distância de um ponto $P(x_0,y_0,z_0)$ até o plano $Ax+By+Cz+D=0$ é dada por:

Para o plano $\pi :x+y+z-10=0$, temos $A=1$, $B=1$, $C=1$ e $D=-10$.

• Substituindo os valores:

Portanto, as distâncias são:
- Distância do ponto $P$ até a reta $r$: $d(P,r)=\sqrt{\frac{7}{3}}$.
- Distância do ponto $P$ até o plano $\pi$: $d(P,\pi )=\frac{1}{\sqrt{3}}.$