Geometria Analítica · Intermediário

Distância de um ponto a uma reta e a um plano no espaço

Enunciado

> Um ponto $P (2, 3, 4)$ e uma reta $r$ dada por $egin{cases} x = 1 + t \ y = 2 - 2t \ z = 3 + 3t \\ t \\ ext{para } t ext{ em } extbf{R} \\ ext{e um plano } \\ rac{x}{2} + rac{y}{3} + rac{z}{6} = 1$ são dados. Calcule a distância do ponto $P$ até a reta $r$ e a distância do ponto $P$ até o plano.

Solução detalhada

Para resolver a questão, vamos calcular a distância do ponto $P (2, 3, 4)$ até a reta $r$ e, em seguida, a distância do ponto até o plano.

### 1. Distância do ponto até a reta
A reta $r$ é dada por:

egin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - 2t \\ z = 3 + 3t \\ ext{para } t ext{ em } extbf{R} \\ \\ ext{ou, na forma vetorial: } \ extbf{r}(t) = (1, 2, 3) + t(1, -2, 3) \\ ext{onde } extbf{a} = (1, 2, 3) ext{ e } extbf{d} = (1, -2, 3) ext{ são o ponto e o vetor diretor da reta.} \end{cases}

O vetor que liga o ponto $P$ ao ponto mais próximo na reta é dado por:

e x t b f A P = e x t b f P - e x t b f a = (2 - 1, 3 - 2, 4 - 3) = (1, 1, 1) .

Agora, precisamos projetar o vetor $e x t b f A P$ sobre o vetor diretor $e x t b f d$ :

ext{proj}_{ extbf{d}} extbf{AP} = rac{ extbf{AP} ullet extbf{d}}{ extbf{d} ullet extbf{d}} extbf{d}.

Calculando o produto escalar:

extbf{AP} ullet extbf{d} = (1, 1, 1) ullet (1, -2, 3) = 1 - 2 + 3 = 2,

extbf{d} ullet extbf{d} = (1, -2, 3) ullet (1, -2, 3) = 1 + 4 + 9 = 14.

Assim,

ext{proj}_{ extbf{d}} extbf{AP} = rac{2}{14} extbf{d} = rac{1}{7}(1, -2, 3) = rac{1}{7}(1, -2, 3).

Agora, o vetor que liga o ponto $P$ ao ponto mais próximo na reta é:

extbf{AP}_{ ext{mais próximo}} = extbf{AP} - ext{proj}_{ extbf{d}} extbf{AP} = (1, 1, 1) - rac{1}{7}(1, -2, 3) = igg(1 - rac{1}{7}, 1 + rac{2}{7}, 1 - rac{3}{7}igg) = igg( rac{6}{7}, rac{9}{7}, rac{4}{7}igg).

A distância do ponto $P$ até a reta é dada pela norma desse vetor:

d(P, r) = || extbf{AP}_{ ext{mais próximo}}|| = igg( rac{6}{7}igg)^2 + igg( rac{9}{7}igg)^2 + igg( rac{4}{7}igg)^2 = rac{36}{49} + rac{81}{49} + rac{16}{49} = rac{133}{49}.

Portanto,

d(P, r) = rac{ ext{raiz}(133)}{7}.

### 2. Distância do ponto até o plano
O plano é dado por:

rac{x}{2} + rac{y}{3} + rac{z}{6} = 1.

Podemos reescrever a equação do plano na forma geral:

2 x + 3 y + 6 z - 12 = 0.

O vetor normal ao plano é $e x t b f n = (2, 3, 6)$ . A distância de um ponto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ a um plano $A x + B y + C z + D = 0$ é dada por:

d(P, ext{plano}) = rac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{ ext{raiz}(A^2 + B^2 + C^2)}.

Substituindo os valores:

d(P, ext{plano}) = rac{|2(2) + 3(3) + 6(4) - 12|}{ ext{raiz}(2^2 + 3^2 + 6^2)} = rac{|4 + 9 + 24 - 12|}{ ext{raiz}(4 + 9 + 36)} = rac{|25|}{ ext{raiz}(49)} = rac{25}{7}.

### Resumo
A distância do ponto $P$ até a reta $r$ é $d(P, r) = rac{ ext{raiz}(133)}{7}$ e a distância do ponto $P$ até o plano é $d(P, ext{plano}) = rac{25}{7}$ .

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