Distância de um ponto a uma reta e a um plano

Considere o ponto $P(2,3,4)$ e a reta $r$ definida pelas equações paramétricas:

Além disso, considere o plano $\pi$ dado pela equação $x+2y+3z-12=0$. Calcule a distância do ponto $P$ à reta $r$ e a distância do ponto $P$ ao plano $\pi$.

Para resolver o problema, vamos calcular a distância do ponto $P(2,3,4)$ à reta $r$ e ao plano $\pi$ separadamente.

### Distância do ponto à reta

A reta $r$ é dada pelas equações paramétricas:

O vetor diretor da reta $r$ é:

Agora, vamos encontrar um ponto $A$ na reta, que podemos obter substituindo $t=0$:

O vetor que liga o ponto $P$ ao ponto $A$ é:

Agora, para calcular a distância do ponto à reta, usamos a fórmula:

Calculando o produto vetorial:

Assim, temos:

E o módulo do vetor diretor:

Portanto, a distância do ponto $P$ à reta $r$ é:

### Distância do ponto ao plano

Para calcular a distância do ponto $P$ ao plano $\pi$, cuja equação é $x+2y+3z-12=0$, usamos a fórmula:

onde $(x_0,y_0,z_0)$ são as coordenadas do ponto e $A$, $B$, $C$, $D$ são os coeficientes da equação do plano.

Aqui, temos $A=1$, $B=2$, $C=3$, e $D=-12$. Substituindo as coordenadas do ponto $P(2,3,4)$:

### Resumo

Portanto, as distâncias são:
- Distância do ponto $P$ à reta $r$: $d_r=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
- Distância do ponto $P$ ao plano $\pi$: $d_{\pi }=\frac{4\sqrt{14}}{7}$.