Geometria Analítica · Intermediário

Distância de um ponto a uma reta no espaço

Enunciado

> Conceito-chave: A distância entre um ponto e uma reta no espaço pode ser calculada utilizando o produto vetorial.

Considere a reta $r$ no espaço definida pelos pontos $A (1, 2, 3)$ e $B (4, 5, 6)$ e o ponto $P (2, 3, 4)$ . Determine a distância do ponto $P$ à reta $r$ .

Solução detalhada

Para encontrar a distância do ponto $P (2, 3, 4)$ à reta $r$ definida pelos pontos $A (1, 2, 3)$ e $B (4, 5, 6)$ , seguimos os seguintes passos:

Encontrar o vetor diretor da reta:
O vetor diretor $e x t b f d$ da reta $r$ pode ser obtido a partir dos pontos $A$ e $B$ :

e x t b f d = e x t b f B - e x t b f A = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3) .

Encontrar o vetor $e x t b f A P$ :
O vetor que vai do ponto $A$ até o ponto $P$ é dado por:

e x t b f A P = e x t b f P - e x t b f A = (2 - 1, 3 - 2, 4 - 3) = (1, 1, 1) .

Calcular o produto vetorial $e x t b f A P im ese x t b f d$ :

extbf{AP} imes extbf{d} = egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ \\end{vmatrix} = (1(3) - 1(3)) extbf{i} - (1(3) - 1(3)) extbf{j} + (1(3) - 1(3)) extbf{k} = (0, 0, 0).

Calcular a norma do produto vetorial:
A norma do vetor resultante é:

∣∣ e x t b f A P im ese x t b f d ∣∣ = ∣∣ (0, 0, 0) ∣∣ = 0.

Calcular a norma do vetor diretor:

∣∣ e x t b f d ∣∣ = ∣∣ (3, 3, 3) ∣∣ = e x t s q r t (3^{2} + 3^{2} + 3^{2}) = e x t s q r t (27) = 3 e x t s q r t (3) .

Calcular a distância:
A distância $D$ do ponto à reta é dada por:

D = rac{|| extbf{AP} imes extbf{d}||}{|| extbf{d}||} = rac{0}{3 ext{sqrt}(3)} = 0.

Portanto, a distância do ponto $P$ à reta $r$ é $0$ , indicando que o ponto $P$ está sobre a reta.

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