Distância de um ponto a uma reta e coplanaridade de vetores

Considere os vetores \( \mathbf{a} = (2, 3, 1) \) e \( \mathbf{b} = (1, 0, 4) \). Determine a distância do ponto \( P(1, 2, 3) \) à reta definida pelo vetor diretor \( \mathbf{b} \) e que passa pela origem. Além disso, verifique se os vetores \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) e \( \mathbf{c} = (0, 2, 1) \) são coplanares.

Para encontrar a distância do ponto \( P(1, 2, 3) \) à reta definida pelo vetor diretor \( \mathbf{b} = (1, 0, 4) \), utilizamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço, que é dada por:

onde \( \mathbf{A} \) é um ponto na reta (neste caso, a origem \( (0, 0, 0) \)), e \( \mathbf{AP} \) é o vetor que vai de \( \mathbf{A} \) a \( P \). Portanto, temos:

\( \mathbf{AP} = P - A = (1, 2, 3) - (0, 0, 0) = (1, 2, 3) \).

Agora, calculamos o produto vetorial \( \mathbf{AP} \times \mathbf{b} \):

Calculando os determinantes, obtemos:

Agora, calculamos o módulo deste vetor:

Em seguida, calculamos o módulo de \( \mathbf{b} \):

Portanto, a distância \( d \) é dada por:

Para verificar a coplanaridade dos vetores \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) e \( \mathbf{c} \), utilizamos o produto misto:

Calculamos primeiro \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \):

Calculando os determinantes, obtemos:

Agora, calculamos o produto escalar:

Como o produto misto é diferente de zero, os vetores \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) e \( \mathbf{c} \) não são coplanares.