Distância de um ponto a uma reta no $R^3$

> Considere o ponto $P(2,3,4)$ e a reta $r$ definida por egin{cases} x = 1 + 2t \ y = -1 + 3t \ z = 5 - t \\ t \in \mathbb{R} \end{cases}. Calcule a distância do ponto $P$ à reta $r$.

Para calcular a distância do ponto $P(2,3,4)$ à reta $r$, seguimos os seguintes passos:

• Identificação do vetor diretor da reta: A reta $r$ é dada por:

O vetor diretor $\vec{u}$ da reta é dado pelos coeficientes de $t$, ou seja, $\vec{u}=⟨2,3,-1⟩$.

• Encontrar um ponto na reta: Para $t=0$, temos o ponto $A(1,-1,5)$ na reta.

• Construir o vetor que liga o ponto $P$ ao ponto $A$: O vetor $\overrightarrow{PA}$ é dado por:

• Calcular o produto escalar: O produto escalar entre $\overrightarrow{PA}$ e $\vec{u}$ é:

• Calcular a norma do vetor diretor: A norma de $\vec{u}$ é:

• Calcular a distância: A distância $d$ do ponto $P$ à reta $r$ é dada pela fórmula:

Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial $\vec{u}\times \overrightarrow{PA}$:

Agora, calculamos a norma desse vetor:

Portanto, a distância é:

Assim, a distância do ponto $P$ à reta $r$ é $\frac{15}{\sqrt{14}}$ unidades.