Distância de um ponto a uma reta no espaço

> Um ponto $P(1,2,3)$ e uma reta extbf{r}: egin{cases} x = 2 + t \ y = 1 - 2t \ z = 4 + 3t \\ t \\ ext{(parametrização da reta)} \\ ext{Determine a distância do ponto } P ext{ até a reta } extbf{r}.

Para encontrar a distância do ponto $P(1,2,3)$ até a reta $extbfr$, seguimos os seguintes passos:

• Identificação da reta: A reta $extbfr$ é dada por:

d = rac{| extbf{AP} imes extbf{v}|}{| extbf{v}|}.

| extbf{v}| = ext{sqrt}(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = ext{sqrt}(1 + 4 + 9) = ext{sqrt}(14).

extbf{AP} imes extbf{v} = (-1, 1, -1) imes (1, -2, 3) = egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \\ \\ = extbf{i}(1 ext{*}3 - (-1) ext{*}(-2)) - extbf{j}(-1 ext{*}3 - (-1) ext{*}1) + extbf{k}(-1 ext{*}(-2) - 1 ext{*}1) = extbf{i}(3 - 2) - extbf{j}(-3 + 1) + extbf{k}(2 - 1) = extbf{i}(1) + extbf{j}(2) + extbf{k}(1) = (1, 2, 1).

| extbf{AP} imes extbf{v}| = ext{sqrt}(1^2 + 2^2 + 1^2) = ext{sqrt}(1 + 4 + 1) = ext{sqrt}(6).

d = rac{| extbf{AP} imes extbf{v}|}{| extbf{v}|} = rac{ ext{sqrt}(6)}{ ext{sqrt}(14)} = ext{sqrt}rac{6}{14} = ext{sqrt}rac{3}{7}.$$

Portanto, a distância do ponto $P(1,2,3)$ até a reta $extbfr$ é d = ext{sqrt}rac{3}{7}.