Distância de um ponto a uma reta reversa no espaço

Considere o ponto $P(1,2,3)$ e a reta reversa definida pelos vetores $\mathbf{a}=(2,-1,4)$ e $\mathbf{b}=(1,3,-2)$. Calcule a distância do ponto $P$ até a reta reversa. Justifique todos os passos e condições necessárias para a solução do problema.

Para resolver a questão, siga os passos abaixo:

• Identificação dos vetores: A reta reversa é definida pelos vetores $\mathbf{a}=(2,-1,4)$ e $\mathbf{b}=(1,3,-2)$. O vetor diretor da reta $\mathbf{d}$ pode ser obtido pelo produto vetorial:

• Encontrar um ponto na reta: Podemos encontrar um ponto na reta utilizando uma combinação linear dos vetores $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$. Por exemplo, tomando $t=0$, temos:

Logo, o ponto $Q(0,0,0)$ pertence à reta.

• Cálculo do vetor $\mathbf{PQ}$: O vetor que liga o ponto $P$ ao ponto $Q$ é:

• Cálculo da distância: A distância do ponto $P$ até a reta é dada pela fórmula:

onde $|\mathbf{d}|$ é o módulo do vetor diretor da reta. Primeiro, calculamos $|\mathbf{d}|$:

• Produto escalar: Agora, calculamos o produto escalar:

• Cálculo da distância: Agora podemos calcular a distância:

• Resultado final: Portanto, a distância do ponto $P$ até a reta reversa é: