Distância de um ponto a um plano e a uma reta em $R^3$

Considere o ponto $P(1,2,3)$ e o plano definido pela equação $2x-y+z-5=0$. Além disso, considere a reta $r$ parametrizada por $\mathbf{r}(t)=(2,1,4)+t(1,-1,1)$. Calcule a distância do ponto $P$ ao plano e a distância do ponto $P$ à reta $r$. Discuta a unicidade das soluções e justifique os resultados obtidos.

Para calcular a distância do ponto $P(1,2,3)$ ao plano $2x-y+z-5=0$, utilizamos a fórmula da distância de um ponto a um plano, que é dada por:

onde $(A,B,C)$ são os coeficientes da equação do plano e $(x_0,y_0,z_0)$ são as coordenadas do ponto. Aqui, temos:
- $A=2$, $B=-1$, $C=1$ e $D=-5$.

Substituindo os valores:

Agora, para calcular a distância do ponto $P$ à reta $r$, utilizamos a fórmula:

onde $extbfPQ$ é o vetor que vai do ponto $P$ a um ponto $Q$ na reta $r$, e $extbfd$ é o vetor diretor da reta. Tomando $Q(2,1,4)$, temos:

E o vetor diretor da reta é $extbfd=(1,-1,1)$. Agora, calculamos o produto vetorial:

Portanto, a norma do produto vetorial é zero, o que indica que o ponto $P$ está sobre a reta $r$. Assim, a distância do ponto à reta é zero. Portanto, temos:

• Distância do ponto ao plano: $d_{plano}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
• Distância do ponto à reta: $d_{reta}=0$.

A solução é única, pois a distância do ponto a um plano é sempre bem definida, e a distância a uma reta é zero quando o ponto pertence à reta.