Geometria Analítica · Avançado

Distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional

Enunciado

Considere o ponto $P (1, 2, 3)$ e o plano dado pela equação $2 x - 3 y + z - 6 = 0$ . Calcule a distância do ponto $P$ ao plano utilizando a fórmula da distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional.

Solução detalhada

Dada a equa c ¸ a ˜ o do plano: 2 x - 3 y + z - 6 = 0 Identificamos os coeficientes: A = 2, B = - 3, C = 1, D = - 6. As coordenadas do ponto P s a ˜ o (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (1, 2, 3) . Substituindo na f o ˊ rmula da dist a ˆ ncia: d = \frac{∣2 ( 1 ) - 3 ( 2 ) + 1 ( 3 ) - 6∣}{2 ^{2} + ( - 3 ) ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣2 - 6 + 3 - 6∣}{4 + 9 + 1} = \frac{∣ - 7∣}{14} = \frac{7}{14} = \frac{7 14}{14} = \frac{14}{2} . Portanto, a dist a ˆ ncia do ponto ao plano e ˊ d = \frac{14}{2} .

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